3 min read

指数加权移动平均法计算VaR

2010-12-18

指数加权移动平均法

指数移动加权法是一种动态波动率建模方法，其核心思想是通过赋予历史收益率随时间衰减的权重，捕捉金融时间序列的波动率聚集特征。与传统等权重方法不同，EWMA通过引入衰减因子 \(\lambda\)，其中: \(\left(0\le\lambda\le1\right)\) ，使近期数据对波动率估计的影响呈指数级递增，而远期数据影响逐渐衰减（通常取 \(\lambda = 0.94\) ，基于RiskMetrics建议）。这种机制使得模型能更快响应市场突变，尤其适用于高频风险监测。

单资产情形

1. 数据准备与收益率计算

  • 获取资产历史收盘价序列${P_t}$，计算对数收益率： $$ r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) $$

2. 动态方差估计

EWMA通过指数衰减因子 \(\lambda\) 赋予近期数据更高权重，捕捉波动率的时变特性：

$$ \sigma_t^2 = \lambda \sigma_{t-1}^2 + (1-\lambda) r_{t-1}^2 $$

其中：

  • \(\lambda \in (0,1)\)：衰减因子（典型值0.94）
  • \(r_{t-1}\)：前一日收益率
  • \(\sigma_{t-1}^2\)：前一日波动率

3. VaR计算（正态假设）

  • 单日VaR公式： $$ \text{VaR}_{\alpha} = -\mu + \sigma_t \Phi^{-1}(1-\alpha) $$ 其中$\mu$为收益率均值（短期内可忽略），$\Phi^{-1}$为标准正态分布分位数（如95%置信水平对应1.645）

4. 多期VaR调整

  • 持有期$T$天的VaR扩展： $$ \text{VaR}T = \text{VaR}{1d} \times \sqrt{T} $$
代码实现
# 加载必要包
if (!require("quantmod")) install.packages("quantmod")  # 金融数据获取

## 载入需要的程序包：quantmod

## 载入需要的程序包：xts

## 载入需要的程序包：zoo

## 
## 载入程序包：'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

## 载入需要的程序包：TTR

## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

if (!require("ggplot2")) install.packages("ggplot2")    # 可视化

## 载入需要的程序包：ggplot2

library(quantmod)
library(ggplot2)

# 获取标普500指数数据（示例）
getSymbols("^GSPC", src = "yahoo", from = "2020-01-01", to = Sys.Date())

## [1] "GSPC"

# 计算对数收益率
returns <- na.omit(ROC(Cl(GSPC)))       # 使用收盘价计算
colnames(returns) <- "Daily_Return"

# 参数设置
lambda <- 0.94                          # 衰减因子
portfolio_value <- 1e6                  # 组合价值100万美元
confidence_level <- 0.95                # 置信水平
z_score <- qnorm(1 - confidence_level)  # 分位数（正态分布）

# 初始化EWMA方差序列
n <- length(returns)
ewma_var <- numeric(n)
ewma_var[1] <- var(returns)             # 初始化为样本方差

# 递归计算EWMA方差
for (i in 2:n) {
  ewma_var[i] <- lambda * ewma_var[i-1] + (1 - lambda) * returns[i-1]^2
}

# 转换为年化波动率
ewma_vol <- sqrt(ewma_var * 252)

# 计算VaR序列
VaR <- portfolio_value * z_score * ewma_vol

# 获取最新VaR值
latest_VaR <- tail(VaR, 1)
cat("最新EWMA VaR（95%置信度）:", round(latest_VaR, 2), "美元\n")

## 最新EWMA VaR（95%置信度）: -581585.7 美元

# 可视化结果
results <- data.frame(
  Date = index(GSPC)[-1], 
  Volatility = ewma_vol,
  VaR = VaR
)

ggplot(results, aes(x = Date)) +
  geom_line(aes(y = Volatility, color = "波动率")) +
  geom_line(aes(y = VaR / 1e4, color = "VaR（万美元）")) +
  scale_y_continuous(
    name = "年化波动率",
    sec.axis = sec_axis(~ . * 1e4, name = "VaR（美元）")
  ) +
  labs(title = "EWMA波动率与VaR动态变化",
       color = "指标类型") +
  theme_minimal()

多元资产组合EWMA-VaR建模原理与R实现

协方差矩阵动态更新

多资产EWMA模型通过递归更新协方差矩阵捕捉资产间相关性的时变特征:

$$ \Sigma_t = \lambda \Sigma_{t-1} + (1-\lambda)\mathbf{r}{t-1}\mathbf{r}{t-1}^\top $$

其中：

  • \(\mathbf{r}_{t-1}\)：前一期资产收益率向量（$n \times 1$）
  • \(\Sigma_{t-1}\)：前一期协方差矩阵（$n \times n$）
  • \(\lambda\)：衰减因子（建议值0.94）:ml-citation{ref=“4,8” data=“citationList”}

组合VaR计算流程

步骤 计算公式
组合方差 \(\sigma_p^2 = \mathbf{w}^\top \Sigma_t \mathbf{w}\)
年化波动率 \(\sigma_p^{\text{annual}} = \sigma_p \sqrt{252}\)
VaR \(VaR_{\alpha} = Z_{1-\alpha} \times P_0 \times \sigma_p^{\text{annual}}\)
  • \(\mathbf{w}\)：资产权重向量（需满足$\sum w_i=1$）
  • \(P_0\)：组合总价值

R语言完整实现

# 加载必要库
library(quantmod)  # 多元金融数据获取
library(ggplot2)   # 可视化
library(reshape2)  # 数据重塑

# 获取三大股指数据
symbols <- c("^GSPC", "^IXIC", "^DJI")  # 标普500、纳斯达克、道琼斯
getSymbols(symbols, from = "2020-01-01", to = Sys.Date())

## [1] "GSPC" "IXIC" "DJI"

# 合并收盘价并计算对数收益率
prices <- na.omit(merge(Cl(GSPC), Cl(IXIC), Cl(DJI)))
returns <- na.omit(ROC(prices))  
colnames(returns) <- c("SP500", "NASDAQ", "DJI")

# 参数设置
lambda <- 0.94                     # 衰减因子
weights <- c(0.5, 0.3, 0.2)        # 资产权重向量
portfolio_value <- 1e7             # 组合价值（美元）
conf_level <- 0.95                 # 置信水平

# 初始化协方差矩阵
n_assets <- ncol(returns)
n_obs <- nrow(returns)
covar <- array(dim = c(n_assets, n_assets, n_obs))
covar[,,1] <- cov(returns)         # 初始协方差矩阵

# 递归更新协方差矩阵
for (i in 2:n_obs) {
  r_prev <- as.numeric(returns[i-1, ])
  covar[,,i] <- lambda * covar[,,i-1] + (1 - lambda) * outer(r_prev, r_prev)
}

# 计算组合波动率
port_var <- sapply(1:n_obs, function(i) {
  t(weights) %*% covar[,,i] %*% weights
})
annual_vol <- sqrt(port_var * 252)

# 计算VaR序列
z_score <- qnorm(conf_level)
VaR_series <- -portfolio_value * z_score * annual_vol

# 输出最新VaR
cat("Latest Portfolio EWMA VaR (95%):", 
    round(tail(VaR_series, 1), 2), "USD\n")

## Latest Portfolio EWMA VaR (95%): -6013901 USD

# 可视化协方差矩阵变化
cov_df <- data.frame(
  Date = index(returns),
  SP500_NASDAQ = sapply(1:n_obs, function(i) covar[1,2,i]),
  SP500_DJI = sapply(1:n_obs, function(i) covar[1,3,i]),
  NASDAQ_DJI = sapply(1:n_obs, function(i) covar[2,3,i])
)
cov_long <- melt(cov_df, id.vars = "Date")

ggplot(cov_long, aes(x = Date, y = value, color = variable)) +
  geom_line(alpha = 0.7) +
  labs(title = "协方差动态变化趋势", y = "协方差值") +
  theme_minimal()