混合正态模型方法

混合正态模型是为了解决金融时间序列的尖峰厚尾现象而提出来的。假设某个分布是两个正态分布混合而成，密度形式如下： 其中， 为待估参数。 为两个不同正态分布的密度函数。混合 正态分布的核心在于参数估计，一般用极大似然法来估计。 基于混合正态模型构造的 VaR 如下： 同理，

ARCH 类方法

这是目前应用最广泛的方法。ARCH 模型的基本形式为： ARCH 模型的基本变种是 GARCH 模型。GARCH 模型的基本形式为： 改变 GARCH 模型的分布假设可以得到 GARCH-t 模型、GARCH-GED 模型、GARCH-SGED

5 模型等；改变 GARCH 模型的主方程可以得到 EGARCH 模型、IGARCH 模型等。当然也可以 衍生出 EGARCH-GED 等模型。 library(rgarch)

极值理论（Extrem Value Theory）方法

虽然很多人把极值理论计算 VaR 标榜为新兴的方法。然而，这一种算法实际上也出现 很久了。 极值理论是上世纪 70 年代正式发展起来的一门理论，它针对极端事件建模。由于直方 图中极端事件位于尾部，因此，有时候又説，极值理论主要是针对尾部建模。极值理论依托 于两类重要的分布：极值分布和超限分布。

广义极值分布：

如果随机时间序列 独立同分布于分布函数 ，其均值为 ，方差为 ，无论样本数 据的初始分布是什么样子，极值的渐进分布只有三种分布：Gumbel 分布、Frechet 分布、 Weibull 分布，而他们又可以被统一为广义极值分布（Generalized Extrem Value Distribution）。 其中 是形状参数， 为尾部指数。 时， ； 时， ； 时， 通过加入位置参数 和规模参数 可以得到完整的 GEV 分布，其密度函数如下： 计算出分布的分位数公式，可进一步推出相应的 VaR 公式为：

广义帕累托分布3：

研究极值时还有另一种方法：首先选取一个足够大的门限值（阀值） ，然后，对 中 所有超过 的值进行建模。这种方法称为 POT（Peaks Over Threshold）法。 中所有大于 的样本 称为超限值。 称为超出量。根据条件概率，容易算出来超出量的分布 如 下:

等式两端对 求导得到超出量分布的密度函数： 对于下面的分布： 称 为超限分布。等式两端关于 求导得到超限分布的密度函数为： 应用过程中一般用广义帕累托分布（GPD：Generized Paroto Distribution）来逼近超限 分布，广义帕累托分布的密度函数如下： 其中 为位置（location）参数， 为尺度（scale）参数， 为形状（shape）参数。在广 义帕累托分布的假设下，VaR 的计算公式： 其中 u 为阀值， 分别是 的估计值， 为总样本数目， 为超限值的数目。 library(fExtremes) tailRisk()

VaR 的检验

关于厚尾，本文引用 Ramazan Gancay 的定义，即：如果尾部密度函数是幂指数衰减的， 就称为厚尾；如果尾部是指数衰减或有有限的终点的，称为细尾。

与VaR计算相关的R包

VaR 相关 R 包有 VaR 包、fExtremes 包、ghyp 包、PerformanceAnalytics 包、fAssets 包、actuar 包；极值理论相关 R 包有 evir 包、evdbayes 包、evd 包、POT 包；GARCH 模 型相关 R 包有 fGarch 包、goGarch 包、rgarch 包等。