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NASDAQ有泡沫吗

2011-09-06

LPPL模型是什么

LPPL（对数周期性幂律）模型是由Didier Sornette等学者提出的金融市场泡沫检测模型，用于识别资产价格在崩盘前的非线性加速增长模式。该模型结合了幂律增长和对数周期性振荡，被广泛应用于金融泡沫预警和临界点预测。

模型的核心是资产价格演化方程：

$$ \ln p(t) = A + B(t_c - t)^\beta \left[1 + C\cos\left(\omega \ln(t_c - t) + \phi\right)\right] $$

  • \(t_c\) 是临界时间（预测的崩盘时间）
  • \(\beta\) 是幂律指数
  • \(\omega\) 是振荡频率（典型值5-15）
  • \(C\) 是振荡幅度
  • \(\phi\) 是相位参数

其中： \(0 \lt \beta \lt 1\)

LPPL模型具有如下特征：

  • 价格加速增长
    • 幂律项 \((t_c - t)^\beta\) 描述价格超指数增长。
    • 典型泡沫阶段 \(\beta \in (0,1)\)，反映增长速率随时间递增。
  • 对数周期振荡
    • 其中 \(cos\left[\omega\ln\left(t_{c}-t\right)\right]\) 反映投资者博弈产生的离散尺度不变性。
    • 震荡幅度随 \(t\to t_{c}\) 增大，体现市场分歧加剧。
  • 临界时间特性
    • 当 \(t\to t_{c}\) 时模型预测系统失稳。
    • 实际崩盘可能发生在 \(t_{c}\) 前6个月内。

拟合模型

# 加载依赖包
library(quantmod)

## 载入需要的程序包：xts

## 载入需要的程序包：zoo

## 
## 载入程序包：'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

## 载入需要的程序包：TTR

## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

library(DEoptim)

## 载入需要的程序包：parallel

## 
## DEoptim package
## Differential Evolution algorithm in R
## Authors: D. Ardia, K. Mullen, B. Peterson and J. Ulrich

library(ggplot2)

# 获取纳斯达克指数数据（2010-01-01至2011-08-30）
getSymbols("^IXIC", src = "yahoo", from = "2010-01-01", to = "2011-08-30")

## [1] "IXIC"

nasdaq <- data.frame(
  t = 1:nrow(IXIC), 
  ln_p = log(Ad(IXIC))
)

colnames(nasdaq)=c("t","ln_p")
# 数据降噪（7日移动平均）
nasdaq$ln_p_smooth <- stats::filter(nasdaq$ln_p, rep(1/7, 7), sides = 2)
nasdaq <- na.omit(nasdaq)  # 剔除NA值


# 定义LPPL模型函数
lppl_model <- function(params, t) {
  A <- params["A"]; B <- params["B"]; tc <- params["tc"]
  beta <- params["beta"]; C <- params["C"]; omega <- params["omega"]; phi <- params["phi"]
  term <- pmax(tc - t, 1e-6)  # 防止出现负数
  A + B * term^beta + C * term^beta * cos(omega * log(term) + phi)
}

# 定义损失函数（均方误差）
loss <- function(params) {
  pred <- lppl_model(params, nasdaq$t)
  if (any(is.na(pred))) return(Inf)
  mean((pred - nasdaq$ln_p_smooth)^2, na.rm = TRUE)
}

# 参数约束范围
lower <- c(
  A = min(nasdaq$ln_p_smooth), 
  B = -2, 
  tc = max(nasdaq$t) + 1, 
  beta = 0.01, 
  C = 0, 
  omega = 6, 
  phi = 0
)

upper <- c(
  A = max(nasdaq$ln_p_smooth), 
  B = 0, 
  tc = max(nasdaq$t) * 1.2, 
  beta = 0.99, 
  C = 0.5, 
  omega = 13, 
  phi = 2 * pi
)


# 全局优化（差分进化算法）
set.seed(123)
de_result <- DEoptim(
  fn = loss, 
  lower = lower, 
  upper = upper, 
  control = list(
    itermax = 500, 
    NP = 100, 
    trace = FALSE
  )
)

# 局部优化（L-BFGS-B）
final_params <- optim(
  de_result$optim$bestmem, 
  fn = loss, 
  method = "L-BFGS-B",
  lower = lower, 
  upper = upper
)$par

# 输出参数估计结果
cat("LPPL模型参数估计结果：\n")

## LPPL模型参数估计结果：

print(round(final_params, 4))

##        A        B       tc     beta        C    omega      phi 
##   7.9574  -0.0009 459.8781   0.9167   0.0000   7.7609   5.3808

结果解读

从模型结果可以看出：

  • 临界时间：$t_c$若输出值为 round(final_params,4)$tc，需结合市场背景评估泡沫风险；
  • 震荡频率：$\omega$介于6-13区间符合典型泡沫特征；
  • 衰减指数: \(\beta\) 接近 round(final_params,4)$beta表明价格波动趋于临界点时分歧加大。

模型结果可视化

# 生成预测值
nasdaq$pred <- lppl_model(final_params, nasdaq$t)

# 绘制拟合曲线
ggplot(nasdaq, aes(x = t)) +
  geom_line(aes(y = ln_p, color = "原始对数价格"), alpha = 0.5) +
  geom_line(aes(y = ln_p_smooth, color = "平滑序列"), linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(y = pred, color = "LPPL拟合"), linewidth = 1) +
  scale_color_manual(values = c("原始对数价格" = "grey", "平滑序列" = "blue", "LPPL拟合" = "red")) +
  labs(
    title = "纳斯达克指数LPPL模型拟合效果（2020-2025）",
    x = "交易日序数", 
    y = "对数价格"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "top", plot.title = element_text(hjust = 0.5))